Cómo Resolver Problemas con Vectores: Dependencia Lineal y Volumen de un Tetraedro

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Cómo Resolver Problemas con Vectores: Dependencia Lineal y Volumen de un Tetraedro

En este artículo, aprenderemos a resolver problemas de álgebra vectorial en los que se deben determinar valores que cumplan condiciones específicas, como la dependencia lineal de vectores y el volumen de un tetraedro en el espacio tridimensional. Acompáñanos paso a paso mientras desglosamos este interesante problema.

¿Qué aprenderás hoy?

  1. Cómo determinar las incógnitas que hacen que tres vectores sean linealmente dependientes.
  2. Cómo calcular el volumen de un tetraedro en el espacio usando determinantes.
  3. Métodos prácticos para resolver sistemas de ecuaciones y trabajar con valores absolutos en álgebra vectorial.

1. Determinar ( m ) y ( n ) para que los vectores sean linealmente dependientes

Planteamiento del problema

Tenemos tres vectores:
\mathbf{u} = (1, 0, 1), \mathbf{v} = (0, 2, 1) y \mathbf{w} = (m, 1, n).

Nos indican que los vectores son linealmente dependientes. Esto implica que el determinante de la matriz formada por estos tres vectores debe ser igual a cero:

<br /> \text{Determinante: }<br /> \begin{vmatrix}<br /> 1 & 0 & 1 \<br /> 0 & 2 & 1 \<br /> m & 1 & n<br /> \end{vmatrix} = 0<br />

Resolución del determinante

Aplicamos la regla de Sarrus:

<br /> \begin{vmatrix}<br /> 1 & 0 & 1 \<br /> 0 & 2 & 1 \<br /> m & 1 & n<br /> \end{vmatrix}<br /> = 1(2n) + 0(1) + 1(0) - [1(1) + 0(m) + 2m]<br /> = 2n - 2m - 1<br />

Esto nos da la ecuación:

2n - 2m - 1 = 0

Condición de ortogonalidad

Además, nos indican que \mathbf{w} es ortogonal a \mathbf{u}. Esto significa que su producto escalar es igual a cero:

\mathbf{w} \cdot \mathbf{u} = 0

Resolviendo:

m(1) + 1(0) + n(1) = 0 \implies m + n = 0

Sistema de ecuaciones

Ahora tenemos el siguiente sistema:

  1. 2n - 2m - 1 = 0
  2. m + n = 0

Resolviendo:
De m + n = 0, tenemos m = -n. Sustituyendo en la primera ecuación:

2n - 2(-n) - 1 = 0 \implies 2n + 2n - 1 = 0 \implies 4n = 1 \implies n = \frac{1}{4} m = -n = -\frac{1}{4}

Resultado:
Los valores que satisfacen la condición son:

m = -\frac{1}{4}, \quad n = \frac{1}{4}

2. Calcular ( m ) para que el volumen del tetraedro sea 10 unidades cúbicas

Planteamiento del problema

Nos indican que n = 1. Entonces, los vectores son:
\mathbf{u} = (1, 0, 1), \mathbf{v} = (0, 2, 1) y \mathbf{w} = (m, 1, 1).

El volumen del tetraedro está dado por:

<br /> V = \frac{1}{6} \left|\begin{vmatrix}1 & 0 & 1 \0 & 2 & 1 \m & 1 & 1\end{vmatrix}\right| = 10

Resolución del determinante

Calculamos el determinante:

\begin{vmatrix}1 & 0 & 1 \0 & 2 & 1 \m & 1 & 1\end{vmatrix}= 1(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 0 + 1(0 \cdot 1 - 2 \cdot m)= 2 - 1 - 2m= 1 - 2m

Sustituimos en la fórmula del volumen:

\frac{1}{6} |1 - 2m| = 10

Multiplicamos por 6:

|1 - 2m| = 60

Esto genera dos ecuaciones:

  1. 1 - 2m = 60
  2. 1 - 2m = -60

Resolviendo:

  1. -2m = 60 - 1 \implies -2m = 59 \implies m = -\frac{59}{2}
  2. -2m = -60 - 1 \implies -2m = -61 \implies m = \frac{61}{2}

Resultado:
Los valores de m para que el volumen sea 10 son:

m = -\frac{59}{2}, \quad m = \frac{61}{2}

Conclusión

En este artículo, hemos aprendido a:

  1. Determinar valores que satisfacen condiciones de dependencia lineal y ortogonalidad.
  2. Calcular el volumen de un tetraedro en el espacio tridimensional usando determinantes y valores absolutos.

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