Cómo Calcular la Distancia de un Punto a un Plano y Determinar el Punto Más Cercano en el Plano

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En este artículo, resolveremos un problema clásico de geometría analítica en el espacio: determinar la distancia de un punto a un plano y encontrar las coordenadas del punto más cercano del plano a dicho punto. Te explicaremos cada paso para que comprendas el proceso fácilmente.

¿Qué aprenderás hoy?

  1. Cómo calcular la distancia de un punto a un plano.
  2. Cómo encontrar las coordenadas del punto más cercano del plano a un punto dado.
  3. Cómo usar ecuaciones paramétricas y sistemas para resolver problemas en el espacio tridimensional.

1. Distancia de un punto a un plano

Planteamiento del problema

Tenemos:

  • El punto A(2, 1, 0).
  • El plano \pi: 2x + 3y + 4z = 36.

Queremos calcular la distancia del punto A al plano \pi.

Fórmula para la distancia de un punto a un plano

La distancia entre un punto (x_0, y_0, z_0) y un plano Ax + By + Cz + D = 0 está dada por:

<br /> \text{Distancia} = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}<br />

Resolución

Primero, escribimos el plano en forma general:

<br /> 2x + 3y + 4z - 36 = 0<br />

Sustituimos las coordenadas del punto A(2, 1, 0) en la fórmula:

<br /> \text{Distancia} = \frac{|2(2) + 3(1) + 4(0) - 36|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2}}<br />

Calculamos:
\text{Numerador: } |4 + 3 - 36| = |-29| = 29

<br /> \text{Denominador: } \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}<br />

Por lo tanto:

<br /> \text{Distancia} = \frac{29}{\sqrt{29}}<br />

Racionalizamos el resultado:

<br /> \text{Distancia} = \sqrt{29}<br />

2. Coordenadas del punto más cercano del plano al punto

Planteamiento del problema

Queremos encontrar el punto en el plano \pi: 2x + 3y + 4z = 36 que sea más cercano al punto A(2, 1, 0).

Recta perpendicular al plano

El punto más cercano en el plano estará sobre la recta perpendicular al plano que pasa por el punto A.
La ecuación paramétrica de esta recta se escribe usando:

  1. El vector normal del plano como dirección: (2, 3, 4).
  2. El punto A(2, 1, 0) como punto inicial.

La recta es:

<br /> x = 2 + 2t, \quad y = 1 + 3t, \quad z = 0 + 4t<br />

Intersección de la recta con el plano

Sustituimos las ecuaciones de la recta en la ecuación del plano:

<br /> 2(2 + 2t) + 3(1 + 3t) + 4(0 + 4t) = 36<br />

Desarrollamos:
4 + 4t + 3 + 9t + 16t = 36
29t + 7 = 36

<br /> 29t = 29 \implies t = 1<br />

Coordenadas del punto más cercano

Sustituimos t = 1 en las ecuaciones paramétricas de la recta:

<br /> x = 2 + 2(1) = 4, \quad y = 1 + 3(1) = 4, \quad z = 0 + 4(1) = 4<br />

Por lo tanto, el punto más cercano es:
(4, 4, 4).

Conclusión

En este artículo, hemos resuelto dos preguntas clave:

  1. La distancia del punto A(2, 1, 0) al plano \pi: 2x + 3y + 4z = 36 es \sqrt{29}.
  2. El punto más cercano en el plano al punto A es (4, 4, 4).

Estos pasos son fundamentales para entender problemas de geometría en el espacio tridimensional. Si te ha resultado útil, ¡no olvides suscribirte y darle «me gusta»! ¿Tienes dudas? Déjalas en los comentarios.

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