En este artículo, aprenderemos a resolver un problema clásico de geometría analítica en el espacio tridimensional. Determinaremos planos paralelos, calcularemos distancias y encontraremos puntos de intersección con los ejes coordinados. Todo esto paso a paso y con explicaciones claras.
¿Qué aprenderás hoy?
- Cómo encontrar planos paralelos y a una distancia específica de un punto.
- Cómo calcular la distancia entre dos puntos en el espacio.
- Cómo determinar los puntos de intersección de un plano con los ejes coordenados.
1. Determinar los planos paralelos y a una distancia específica del origen
Planteamiento del problema
Se nos da el plano \pi_1, cuya ecuación es:
\pi_1: x + y = 1
En forma general:
Debemos encontrar los planos paralelos a \pi_1 que estén a una distancia de 2 unidades del origen de coordenadas.
Condición de paralelismo
Dos planos son paralelos si su parte lineal coincide, es decir, tienen el mismo término en x, y y z. Por lo tanto, la ecuación general de un plano paralelo a \pi_1 será:
x + y + d = 0Cálculo de la distancia del origen al plano
Sabemos que la distancia entre un punto (x_0, y_0, z_0) y un plano Ax + By + Cz + D = 0 está dada por la fórmula:
<br /> \text{Distancia} = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}<br />En este caso:
- El punto es el origen (0, 0, 0).
- El plano es \pi_2: x + y + d = 0, donde A = 1, B = 1, C = 0.
Sustituimos:
<br /> \text{Distancia} = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + d|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|d|}{\sqrt{2}}<br />Esta distancia debe ser igual a 2:
<br /> \frac{|d|}{\sqrt{2}} = 2 \implies |d| = 2\sqrt{2}<br />Soluciones para d
El valor absoluto implica dos soluciones:
- d = 2\sqrt{2}
- d = -2\sqrt{2}
Por lo tanto, los planos paralelos son:
- \pi_2: x + y + 2\sqrt{2} = 0
- \pi_3: x + y - 2\sqrt{2} = 0
2. Encontrar los puntos de intersección de \pi_1 con los ejes
Intersección con el eje X
En el eje X, y = 0. Sustituyendo en \pi_1:
<br /> x + 0 = 1 \implies x = 1<br />Por lo tanto, el punto de intersección es:
(1, 0, 0)Intersección con el eje Y
En el eje Y, x = 0. Sustituyendo en \pi_1:
<br /> 0 + y = 1 \implies y = 1<br />Por lo tanto, el punto de intersección es:
(0, 1, 0)3. Calcular la distancia entre los puntos de intersección
Los puntos de intersección son:
- A = (1, 0, 0)
- B = (0, 1, 0)
La distancia entre dos puntos A(x_1, y_1, z_1) y B(x_2, y_2, z_2) está dada por:
<br /> \text{Distancia} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}<br />Sustituimos:
<br /> \text{Distancia} = \sqrt{(0 - 1)^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}<br />Por lo tanto, la distancia entre los puntos es \sqrt{2}.
Conclusión
En este artículo, hemos aprendido a:
- Encontrar planos paralelos a una distancia específica del origen.
- Determinar los puntos de intersección de un plano con los ejes coordenados.
- Calcular la distancia entre dos puntos en el espacio.
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