Cómo Resolver Problemas de Geometría en el Espacio: Simetrías y Puntos Equidistantes

por

Cómo Resolver Problemas de Geometría en el Espacio: Simetrías y Puntos Equidistantes

En este artículo, exploraremos cómo abordar problemas de geometría en el espacio, específicamente el cálculo del punto simétrico respecto a una recta y cómo determinar un punto equidistante a dos puntos dados. Ambos conceptos son fundamentales en geometría analítica y tienen aplicaciones prácticas en distintas disciplinas.

¿Qué aprenderás hoy?

  1. Cómo calcular el punto simétrico de un punto respecto a una recta.
  2. Cómo determinar el punto en una recta que equidista de dos puntos dados.
  3. Explicaciones paso a paso y consejos para aplicar en problemas similares.

1. El punto simétrico respecto a una recta en el espacio

Planteamiento del problema

Dado un punto P(1,0,−1)P(1, 0, -1) y una recta RR, queremos encontrar el punto simétrico P′P’ respecto a la recta. Para ello, seguiremos estos pasos:

Paso 1: Definir un plano perpendicular a la recta RR

La recta RR se expresa en forma continua, lo que nos permite identificar su vector director. Si el vector director es (1, 1, -2), entonces este será también el vector normal para nuestro plano \pi.

La ecuación del plano perpendicular será:

x + y - 2z + d = 0

Sustituyendo el punto P en el plano para determinar d:

1 + 0 - 2(-1) + d = 0 \implies d = -3

Por lo tanto, el plano \pi es:

x + y - 2z - 3 = 0

Paso 2: Encontrar el punto medio entre PP y P′P’

Resolviendo el sistema formado por la ecuación del plano \pi y la ecuación paramétrica de la recta R, obtenemos el punto medio M(4, -1, 0).

Paso 3: Calcular P′P’

Utilizamos la fórmula del punto simétrico:

P' = 2M - P

Sustituyendo:

P' = 2(4, -1, 0) - (1, 0, -1) = (7, -2, 1)

El punto simétrico es P'(7, -2, 1).

2. Determinar el punto de una recta que equidista de dos puntos

Planteamiento del problema

Queremos encontrar un punto B en la recta R que equidiste de dos puntos dados P(1, 0, -1) y Q(2, 1, 1).

Paso 1: Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta

La recta R en forma continua se convierte en:

x = 5 + \lambda, \quad y = \lambda, \quad z = -2 - 2\lambda

El punto B en R tendrá coordenadas:

B(5 + \lambda, \lambda, -2 - 2\lambda)

Paso 2: Igualar las distancias

Calculamos los vectores \overrightarrow{PB} y \overrightarrow{QB}, y los igualamos en módulo. Esto implica resolver:

\sqrt{(4 + \lambda)^2 + \lambda^2 + (-2\lambda - 1)^2} = \sqrt{(3 + \lambda)^2 + (\lambda - 1)^2 + (-2\lambda - 3)^2}

Paso 3: Resolver la ecuación

Elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar las raíces y desarrollamos las expresiones cuadráticas. Tras simplificar, obtenemos:

\lambda = -\frac{1}{2}

Paso 4: Encontrar las coordenadas de BB

Sustituimos \lambda = -\frac{1}{2} en las ecuaciones paramétricas de R:

x = 5 - \frac{1}{2}, \quad y = -\frac{1}{2}, \quad z = -2 - 2\left(-\frac{1}{2}\right)

El punto B es:

B\left(\frac{9}{2}, -\frac{1}{2}, -1\right)

Conclusión

Hemos resuelto dos problemas clásicos de geometría en el espacio. Si estás trabajando en problemas similares, recuerda:

  1. Utilizar vectores y planos para estructurar las soluciones.
  2. Simplificar paso a paso, especialmente al resolver sistemas o ecuaciones con raíces.
  3. Revisar siempre tus resultados para evitar errores algebraicos.

Si este contenido te ha sido útil, ¡no olvides darle «me gusta» y suscribirte al canal para más explicaciones paso a paso! ¿Tienes dudas? Déjalas en los comentarios y las resolveremos juntos.

Deja un comentario