Introducción
En este video se resuelven ecuaciones trigonométricas paso a paso, transformando expresiones en funciones de seno y coseno para encontrar soluciones en distintos cuadrantes y aplicando propiedades de las identidades trigonométricas. A continuación se describen las soluciones a cada ejercicio tratado en el video.
Ejercicio 1: [2 \csc(x) = 1]
- Convertir la cosecante a seno:
[2 \sin(x) = 1] - Despejar [\sin^2(x) = \frac{1}{2}]
- Extraer la raíz cuadrada:
[\sin(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}] - Determinar los ángulos que cumplen esta condición:
- Para [\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}], el ángulo es [45^\circ].
- Como el seno puede ser positivo y negativo, se debe considerar todos los cuadrantes:
- Primer cuadrante: [45^\circ]
- Segundo cuadrante: [180^\circ - 45^\circ = 135^\circ]
- Tercer cuadrante: [180^\circ + 45^\circ = 225^\circ]
- Cuarto cuadrante: [360^\circ - 45^\circ = 315^\circ]
- Expresar las soluciones en forma general:
[x = 45^\circ + 180^\circ k] y [x = 135^\circ + 180^\circ k], [k \in \mathbb{Z}]
Ejercicio 2: [\tan(x) = 3 \cot(x)]
- Transformar la cotangente en función de tangente:
[\tan(x) = \frac{3}{\tan(x)}] - Multiplicar ambos lados por [\tan(x)]:
[\tan^2(x) = 3] - Extraer la raíz cuadrada:
[\tan(x) = \pm \sqrt{3}] - Determinar los ángulos:
- Para [\tan(x) = \sqrt{3}], el ángulo es [60^\circ].
- Considerando que la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante y negativa en el segundo y cuarto:
- Primer cuadrante: [60^\circ]
- Tercer cuadrante: [180^\circ + 60^\circ = 240^\circ]
- Expresar las soluciones en forma general:
[x = 60^\circ + 180^\circ k] y [x = 120^\circ + 180^\circ k], [k \in \mathbb{Z}]
Ejercicio 3: [\sec(x) = 4 \cos(x)]
- Transformar la secante en función de coseno:
[\frac{1}{\cos(x)} = 4 \cos(x)] - Multiplicar ambos lados por [\cos(x)]:
[1 = 4 \cos^2(x)] - Despejar [\cos^2(x) = \frac{1}{4}]
- Extraer la raíz cuadrada:
[\cos(x) = \pm \frac{1}{2}] - Determinar los ángulos:
- Para [\cos(x) = \frac{1}{2}], el ángulo es [60^\circ].
- Considerando los cuadrantes de coseno positivo y negativo:
- Primer cuadrante: [60^\circ]
- Segundo cuadrante: [180^\circ - 60^\circ = 120^\circ]
- Tercer cuadrante: [180^\circ + 60^\circ = 240^\circ]
- Cuarto cuadrante: [360^\circ - 60^\circ = 300^\circ]
- Expresar las soluciones en forma general:
[x = 60^\circ + 180^\circ k] y [x = 120^\circ + 180^\circ k], [k \in \mathbb{Z}]
Ejercicio 4: [\sec(x) + \csc(x) = 0]
- Expresar en términos de seno y coseno:
[\frac{1}{\cos(x)} - \frac{1}{\sin(x)} = 0] - Igualar y simplificar:
[\frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)}] - Multiplicar ambos lados por [\sin(x)]:
[\tan(x) = 1] - Determinar el ángulo que satisface [\tan(x) = 1]:
- [x = 45^\circ]
- Expresar la solución en forma general:
[x = 45^\circ + 180^\circ k], [k \in \mathbb{Z}]
Ejercicio 5: [4 \sin(x) = \csc(x)]
- Expresar en términos de seno:
[4 \sin(x) = \frac{1}{\sin(x)}] - Multiplicar ambos lados por [\sin(x)]:
[4 \sin^2(x) = 1] - Despejar [\sin^2(x) = \frac{1}{4}]
- Extraer la raíz cuadrada:
[\sin(x) = \pm \frac{1}{2}] - Determinar los ángulos:
- Para [\sin(x) = \frac{1}{2}], el ángulo es [30^\circ].
- Considerando los cuadrantes donde el seno es positivo y negativo:
- Primer cuadrante: [30^\circ]
- Segundo cuadrante: [180^\circ - 30^\circ = 150^\circ]
- Tercer cuadrante: [180^\circ + 30^\circ = 210^\circ]
- Cuarto cuadrante: [360^\circ - 30^\circ = 330^\circ]
- Expresar las soluciones en forma general:
[x = 30^\circ + 180^\circ k] y [x = 150^\circ + 180^\circ k], [k \in \mathbb{Z}]
Ejercicio 6: [\csc(x) = \frac{1}{4}]
- Transformar la cosecante en función de seno:
[\sin(x) = \pm \frac{1}{4}] - Determinar los ángulos que cumplen esta condición:
- Utilizar calculadora para hallar los ángulos asociados a [\sin(x) = \pm \frac{1}{4}]
- Aplicar los cuadrantes correspondientes y expresar las soluciones en forma general:
[x = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 180^\circ k] y [x = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 180^\circ k], [k \in \mathbb{Z}]
Conclusión
Cada problema fue resuelto utilizando transformaciones y simplificaciones de funciones trigonométricas.